Jumlah angka dari n! merupakan kelipatan 3

 

Secara lengkapnya, jumlah angka-angka dari bilangan $latex n!$ (untuk n lebih besar dari 2) merupakan kelipatan 3. Ini kami dapatkan ketika kami mencari jumlah angka-angka dari bilangan $latex 100!$. Meskipun sebenarnya hal ini adalah hal yang mendasar dan sangat mudah. Perhatikan saja untuk beberapa bilangan $latex n!$ berikut 

 

$latex 1!=1$  jumlah angka-angkanya adalah 1

$latex 2!=2$  jumlah angka-angkanya adalah 2

$latex 3!=6$  jumlah angka-angkanya adalah 6

$latex 4!=24$  jumlah angka-angkanya adalah 6

$latex 5!=120$  jumlah angka-angkanya adalah 3

$latex 6!=720$  jumlah angka-angkanya adalah 9

$latex 7!=5040$  jumlah angka-angkanya adalah 9

$latex 8!=40320$  jumlah angka-angkanya adalah 9

$latex 9!=362880$  jumlah angka-angkanya adalah 27

 

Jumlah angka-angka dari bilangan $latex n!$ (untuk n lebih besar dari 2) merupakan kelipatan 3. Kecuali $latex 1!$ dan $latex 2!$. Untuk $latex 1!$ dan $latex 2!$ jumlah digit-digitnya berturut-turut adalah 1 dan 2. Sedangkan untuk $latex 3!$ dan selanjutnya merupakan kelipatan 3. Tapi apa kita yakin? Kita kan belum mencoba untuk mengecheck untuk bilangan $latex 10!$ dan seterusnya.

 

Mengecheck semuanya itu adalah hal yang tidak mungkin. Lalu, bagaimana kita menunjukkan bahwa ini juga berlaku untuk $latex 10!$ atau lebih?

 

 

Bukti :

 

$latex n!$ menurut definisinya adalah $latex n(n-1)(n-2) \dots (2)(1)$. Untuk $latex n!$ (untuk n lebih besar dari 2) bisa dituliskan $latex 3!$ yang artinya $latex 3.2.1=6$, $latex 4!=4.3.2.1=24$ dan untuk bilangan yang lebih besar bisa dituliskan menjadi $latex n(n-1) \dots (3!)$, yang di dalamnya pasti mengandung $latex 3!$

Sekarang kita perhatikan bahwa $3!=6$ adalah bilangan kelipatan 3. Bilangan yang dikalikan dengan kelipatan 3, pasti juga merupakan kelipatan 3. Sehingga bilangan-bilangan $latex n!$ (untuk n lebih besar dari 2) pasti juga merupakan kelipatan 3.

 

Mengapa?

 

Karena di dalam bilangan $latex n!$ (untuk n lebih besar dari 2) ada unsure $latex 3!$ yang merupakan kelipatan 3.

Bilangan kelipatan 3 jika dan hanya jika jumlah angka-angkanya adalah kelipatan 3.

 

Itu adalah teorema penting pada bilangan habis dibagi 3. Bilangan habis dibagi 3 sangat bergantung dari jumlah angka-angkanya. Bilangan kelipatan 3, bilangan habis dibagi 3, dan jumlah angka-angkanya saling berhubungan.

Sehingga, dari teorema bilangan kelipatan 3 tersebut dapat disimpulkan bahwa bilangan $latex n!$ (untuk n lebih besar dari 2) mempunyai jumlah digit yang merupakan kelipatan 3.

 

Terbukti.

 

Meskipun bukti masih acak-acakan, semoga bisa dimengerti. Ini juga akan mengakibatkan bahwa untuk bilangan $latex n!$ (untuk n lebih besar dari 5) mempunyai jumlah angka-angka yang merupakan kelipatan 9.

 

Mengapa?

 

Ada hubungannya dengan ciri bilangan habis dibagi 9. Dan perkalian kelipatan 3 dengan kelipatan 6.

Semoga bermanfaat.

 

Tulisan Terbaru :

 

[archives limit=5]

 

Share this post