Jumlah angka dari n! (n lebih besar dari 5)

 

Istilah faktorial baru kita kenal di SMA. Bagi, yang belum mengenal tentang faktorial itu apa, perhatikan definisinya sebagai berikut :

$latex n!$ (baca : n faktorial), untuk n bilangan cacah, yaitu perkalian dari semua bilangan asli yang lebih kecil atau sama dengan n, bisa dituliskan :

 

 

$latex (n)(n-1)(n-2) \dots (3)(2)(1)$

Dan didefinisikan $latex 0!=1$

 

Itulah faktorial. Tentunya peningkatan bilangan sangat cepat. Sampai di $latex 10!$ saja sudah sampai pada bilangan 3628800. Bagaimana dengan nilai dari $latex 100!$ ya?

Lalu, bagaimana hubungannya dengan jumlah angka-angka pada bilangan faktorial yang tertera pada judul di atas?

 

Telah dituliskan dipostingan sebelumnya bahwa jumlah angka-angka pada bilangan faktorial untuk $latex n>2$ adalah merupakan kelipatan 3. Dan di dalamnya sedikit disinggung bahwa jumlah angka-angka untuk $latex n!$ (untuk n lebih besar dari 5) dalah merupakan kelipatan 9. Di sini akan dibahas mengenai jumlah angka pada bilangan faktorial yang merupakan kelipatan 9.

 

Perhatikan untuk beberapa bilangan faktorial berikut ini :

 

$latex 3!=6$  jumlah angka-angkanya adalah 6

$latex 4!=24$  jumlah angka-angkanya adalah 6

$latex 5!=120$  jumlah angka-angkanya adalah 3

$latex 6!=720$  jumlah angka-angkanya adalah 9

$latex 7!=5040$  jumlah angka-angkanya adalah 9

$latex 8!=40320$  jumlah angka-angkanya adalah 9

$latex 9!=362880$  jumlah angka-angkanya adalah 27

$latex 10!=3628800$  jumlah angka-angkanya adalah 27

 

$latex 100!= 9332621544394415268169923885626670049071596826438162146$

$latex 85929638952175999932299156089414639761565182862536979$

$latex 20827223758251185210916864000000000000000000000000$

jumlah angka-angkanya adalah 648

 

 

Lalu apa yang unik?

 

Memang tidak ada yang unik. 648 memang benar merupakan kelipatan 3. 648 pun ternyata juga merupakan kelipatan 9. Kalimat sebelumnya mengatakan bahwa jumlah angka-angka untuk $latex n!$ (untuk n lebih besar dari 5) dalah merupakan kelipatan 9. Benar memang. Tapi kita kurang yakin kalau belum ada buktinya.

 

Bukti :

 

Jumlah angka-angka untuk $latex n!$ (untuk n lebih besar dari 5) dalah merupakan kelipatan 9. Untuk n bilangan asli yang lebih besar dari 5, bilangan itu adalah 6.

 

$latex 6!=6.5.4.3.2.1$

 

Perhatikan bahwa di dalamnya terdapat bilangan 3 dan 6, yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan kelipatan 9. Hasil dari $latex 6!$ sendiri adalah 720. Bilangan yang merupakan kelipatan 9.

Dapat disimpulkan bahwa bilangan $latex 6!$ merupakan bilangan kelipatan 9. Perkalian sebarang bilangan bulat dengan kelipatan 9, maka akan menghasilkan bilangan kelipatan 9 juga.

 

Jadi, $latex n!$ (untuk n lebih besar dari 5) di dalamnya pasti mempunyai unsur $latex 6!$ yang merupakan kelipatan 9.

Sesuai dengan teorema pada ciri bilangan habis dibagi 9, yaitu

Bilangan kelipatan 9 jika dan hanya jika jumlah angka-angkanya merupakan kelipatan 9.

Karena bilangan $latex n!$ (untuk n lebih besar dari 5) adalah merupakan bilangan kelipatan 9, maka jumlah angka-angkanya juga merupakan bilangan kelipatan 9.

 

Memang belum bisa dikatakan langsung berapa jumlah angka-angka dari bilangan $latex n!$. Tetapi ini akan sedikit membantu kita untuk mengecheck apakah perhitungan angka-angka dari bilangan $latex n!$ kita benar atau tidak.

Semoga bermanfaat.

 

Tulisan Terbaru :

 

[archives limit=5]

 

Share this post