Menghasilkan bilangan kuadrat

 

Perkalian 4 bilangan berurutan ditambah dengan 1 maka akan menghasilkan bilangan kuadrat. Tentunya ini adalah suatu hal yang bisa dikatakan unik. Empat bilangan asli berurutan, jika dikalikan kemudian ditmbah dengan 1, maka akan menghasilkan bilangan kuadrat :

Dari mana ini bisa terjadi? Sebelumnya, perhatikan beberapa bilangan tersebut di bawah ini :

 

$latex (1 \times 2 \times 3 \times 4)+1=25$

$latex (2 \times 3 \times 4 \times 5)+1=121$

$latex (3 \times 4 \times 5 \times 6)+1=361$

$latex (4 \times 5 \times 6 \times 7)+1=841$

$latex (5 \times 6 \times 7 \times 8)+1=1681$

$latex (6 \times 7 \times 8 \times 9)+1=3025$

$latex (7 \times 8 \times 9 \times 10)+1=5041$

 

Bilangan-bilangan hasilnya adalah bilangan kuadrat. Apaka sudah yakin begitu saja? Bagaimana dengan $latex (7231 \times 7232 \times 7233 \times 7234)+1=?$. Apakah juga merupakan bilangan kuadrat? Apakah kalkulator 12 digit mampu menghitungnya? Kita sendiri akan malas menghitungnya/ Lalu, bagaimana kita menjawab pertanyaan itu. Tentu kita bisa menjawabnya setelah membuktikannya secara umum..

 

Secara umum, empat bilangan berurutan bisa dituliskan sebagai $latex a, (a+1), (a+2), (a+3)$. Maka, yang dimaksudkan bisa dituliskan sebagai berikut :

 

$latex (a \times (a + 1) \times (a + 2) \times (a + 3)) + 1$

$latex = (a^2 + a)(a^2 + 5a + 6) + 1$

$latex = (a^4 + 5a^3 + 6a^2 + a^3 + 5a^2 + 6a) + 1$

$latex = a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a + 1$

$latex = a^4 + 2a^2 + 1 + 6a^3 + 9a^2 + 6a$

$latex = (a^2 + 1)^2 + 6a(a^2 + 1) + 9a^2$

$latex = (a^2 + 1)^2 + 2.(3a)(a^2 + 1) + (3a)^2$

$latex = [(a^2 + 1) + 3a]^2$

 

Bentuk terakhir adalah bentuk bilangan kuadrat. Ini sudah menunjukkan bahwa untuk sebarang 4 bilangan asli berurutan, maka perkaliannya ditambahkan dengan 1 menghasilkan bilangan kuadrat. Coba saja check dengan bilangan yang besar dan hitung dengan menggunakan kalkulator 100 digit atau lebih. Kalkulator 100 digit bisa dilihat di halaman online, atau di sini

 

Share this post