Desimal berulang

Berbicara mengenai desimal berulang, sangat berkaitan erat dengan beda bilangan irrasional dan bilangan rasional. Kalau bilangan irasional tidak bisa dituliskan ke dalam bentuk pecahan $latex \frac{a}{b}$ dengan a dan b bilangan bulat, beda lagi dengan bilangan rasional. Bilangan rasional ini selalu bisa dituliskan menjadi bentuk pecahan $latex \frac{a}{b}$ dengan a dan b bilangan bulat.

 

Selain cara tersebut, cara membedakan yang lain juga bisa menggunakan aturan desimal berulang. Jika suatu bilangan bisa dituliskan ke dalam bentuk decimal berulang, maka bilangan itu adalah bilangan rasional. Sedangkan jika tidak bisa dituliskan ke dalam bentuk decimal berulang, maka bilangan itu adalah bilangan irasional.



Lalu, bagimana dengan $latex 0,5$? Mana yang berulang dari bentuk tersebut? Tentu saja bilangan $latex 0,5=0,500000000000000000$, dengan angka 0 yang berulang.

 

Jadi, kita sudah bisa membedakan dengan mudah tentang decimal berulang dan bukan decimal berulang.

 

Awal belajar mungkin agak kaget. Inilah yang terjadi pada kami. Setiap kita membagi bilangan selalu ditemukan bilangan berulang (angka berulang di belakang koma). Misalnya $latex \frac{1}{3}=0,333333333333333 \dots$. Angka 3 berulang. $latex \frac{1}{7}=0,1428571428 \dots$ masih terlihat berulang yaitu setiap 142857. Tetapi, kalkulator 12 angka tidak mencukupi untuk menghitung $latex \frac{1}{17}$ misalnya.. kalkulator yang dimiliki mungkin hanya kalkulator 12 angka, yang hanya menampilkan hasil seperti berikut :

 

$latex \frac{1}{17}=0,05882352941$

 

Mana yang berulang? Apa tidak ada yang berulang? Tidak, kalkulator tidak bisa menampilkan perulangannya. Mungkin jika kalian menghitungnya di kalkulator 100 digit di blog ini baru akan terlihat.

 

Padahal $latex \frac{1}{17}=0, 05882352941176470588235294117647 \dots$

 

Berulang setiap setelah 16 angka di belakang koma.

 

Apa setiap pembagian dengan bilangan prima akan ditemukan bilangan berulang yang panjang? Misalnya saja

 

$latex \frac{1}{17}=0,0588235294117647 \dots$

$latex \frac{1}{19}=0,052631578947368421 \dots$

$latex \frac{1}{23}=0434782608695652173913 \dots$

 

Tetapi untuk bilangan prima 37, nilai dari $latex 1/27$ mempunyai angka berulang yang pendek.

 

$latex \frac{1}{37}=0,027027 \dots$

 

Jadi, tidak semua bilangan prima $latex (1/p)$ mempunyai decimal berulang yang panjang.

 

Berikut adalah daftar beberapa bilangan decimal berulang

 

 

$latex n \qquad \qquad \frac{1}{n}$

 

$latex 1 \qquad \qquad 1$

$latex 2 \qquad \qquad 0,5$

$latex 3 \qquad \qquad 0,33333$

$latex 4 \qquad \qquad 0,25$

$latex 5 \qquad \qquad 0,2$

$latex 6 \qquad \qquad 0,16666666$

$latex 7 \qquad \qquad 0,142857142857$

$latex 8 \qquad \qquad 0,125$

$latex 9 \qquad \qquad 0,11111111111111$

$latex 10 \qquad \qquad 0,1$

$latex 11 \qquad \qquad 0,09090909$

$latex 12 \qquad \qquad 0,083333333333$

$latex 13 \qquad \qquad 0,076923$

$latex 14 \qquad \qquad 0,0714285714285$

$latex 15 \qquad \qquad 0,066666666666$

$latex 16 \qquad \qquad 0,0625$

$latex 17 \qquad \qquad 0,0588235294117647$

$latex 18 \qquad \qquad 0,05555555$

$latex 19 \qquad \qquad 0,052631578947368421$

$latex 21 \qquad \qquad 0,047619047619$

$latex 22 \qquad \qquad 0,0454545$

$latex 23 \qquad \qquad 0,0434782608695652173913$

$latex 24 \qquad \qquad 0,0416666666$

$latex 26 \qquad \qquad 0,0384615384615$

$latex 27 \qquad \qquad 0,037037037$

$latex 28 \qquad \qquad 0,03571428571428$

$latex 29 \qquad \qquad 0,0344827586206896551724137931$

$latex 31 \qquad \qquad 0,032258064516129$

$latex 37 \qquad \qquad 0,027$

$latex 41 \qquad \qquad 0,02439$

$latex 43 \qquad \qquad 0,023255813953488372093$

$latex 47 \qquad \qquad 0,0212765957446808510638297872340425531914893617$

$latex 53 \qquad \qquad 0,0188679245283$

$latex 59 \qquad \qquad 0,0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661$

$latex 61 \qquad \qquad 0,016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459$

$latex 67 \qquad \qquad 0,014925373134328358208955223880597$

$latex 71 \qquad \qquad 0,01408450704225352112676056338028169$

$latex 73 \qquad \qquad 0,01369863$

$latex 79 \qquad \qquad 0,0126582278481$

$latex 83 \qquad \qquad 0,01204819277108433734939759036144578313253$

$latex 89 \qquad \qquad 0,01123595505617977528089887640449438202247191$

$latex 97 \qquad \qquad 0,01030927835051546391752577319587628865979381443298$

 

 

Nilai seperti ini juga disebut sebagai “reciproc”. Diantara 1 sampai 100, yang mempunyai nilai dengan angka berulang yang panjang adalah untuk $latex n=61$. Unik di sini yaitu untuk 27 dan 37. Mereka saling bertukar. Kawan reciproc.

 

$latex \frac{1}{27}=0,037037037037$

$latex \frac{1}{37}=0,027027027027$

 

Perhatikan bahwa $latex 27 \times 37=999$

 

Dibedakan juga untuk bilangan prima. Karena kebanyakan bilangan prima mempunyai angka berulang yang panjang. Maka dibuat suatu hal berbeda untuknya.

 

$latex \frac{1}{31}=0,032258064516129$

 

Adalah bilangan berulang ( $latex \frac{1}{p}$ dengan p adalah bilangan prima) yang periode angka berulangnya sama dengan $latex \frac{p-1}{2}$. Ini adalah bilangan prima yang terkecil yang mempunyai periode tersebut.

 

$latex \frac{1}{53}=0,0188679245283$

 

Adalah bilangan berulang ( $latex \frac{1}{p}$ dengan p adalah bilangan prima) yang periode angka berulangnya sama dengan $latex \frac{p-1}{4}$. Ini adalah bilangan prima yang terkecil yang mempunyai periode tersebut.

 

$latex \frac{1}{41}=0,02439$

 

Adalah bilangan berulang ( $latex \frac{1}{p}$ dengan p adalah bilangan prima) yang periode angka berulangnya sama dengan $latex \frac{p-1}{8}$. Ini adalah bilangan prima yang terkecil yang mempunyai periode tersebut.

 

Semoga bermanfaat.

 

 

Share this post