Ketaksamaan segitiga dan akibatnya

 

Tentunya sudah sangat mengenal tentang ketaksamaan segitiga (Triangle Inequality). Sebagai berikut :

 

$latex \mid a+b \mid \le \mid a \mid + \mid b \mid$

 

Bagaimana bukti dari ketaksamaan segitiga tersebut?

 

Sebelum masuk ke buktinya, mari kita coba dulu ketaksamaan segitiga tersebut, kapan berlaku sama dengan dan kapan berlaku kurang dari. misalnya kita pilih bilangan $latex 2,3,-2$ dan $latex -3$

 

$latex \mid 2+3 \mid = \mid 2 \mid + \mid 3 \mid$

$latex \mid 2+(-3) \mid < \mid 2 \mid + \mid -3 \mid$

$latex \mid (-2)+3 \mid < \mid -2 \mid + \mid 3 \mid$

$latex \mid (-3)+(-3) \mid = \mid -2 \mid + \mid -3 \mid$

 

Ketaksamaan segitiga akan berlaku sama dengan ketika tanda dari kedua bilangan itu sama. negative dan negative, atau positif dan positif. Dengan kata lain, perkalian dua bilangan itu lebih besar dari nol.

 

$latex \mid a+b \mid \le \mid a \mid + \mid b \mid$

 

Akan bernilai sama dengan ketika $latex ab>0$

 

Sekarang kita akan mencoba membuktikannya. Bukti :

 

Ingat! pada pertidaksamaan berlaku  $latex -\mid a \mid \le a \le \mid a \mid$ untuk setiap a di bilangan real.

 

$latex -\mid a \mid \le a \le \mid a \mid$

$latex -\mid b \mid \le b \le \mid b \mid$

 

Jika keduanya kita jumlahkan, maka kita peroleh :

 

$latex -\mid a \mid -\mid b \mid \le a+b \le \mid a \mid + \mid b \mid $

$latex -( \mid a \mid + \mid b \mid) \le a+b \le \mid a \mid + \mid b \mid $

 

Ingat sifat pada pertidaksamaan! Bahwa

 

Jika $latex c \ge 0$, maka $latex \mid a \mid \le c$ jika dan hanya jika $latex -c \le a \le c$

 

Sehingga, bentuk $latex -( \mid a \mid + \mid b \mid) \le a+b \le \mid a \mid + \mid b \mid $

Bisa dituliskan menjadi :

 

$latex \mid a+b \mid \le \mid a \mid + \mid b \mid$

 

Ketaksamaan segitiga ini akan sering digunakan. Jadi disarankan untuk mengingatnya.

 

Akibat dari ketaksamaan segitiga ini yang juga akan sering digunakan adalah sebagai berikut :

 

$latex \mid a-b \mid \le \mid a \mid + \mid b \mid$

 

Buktinya dengan mudah bisa didapatkan dengan ketaksamaan segitiga. Dengan mengganti b dengan $latex -c$, maka kita peroleh $latex \mid a+(-c) \mid \le \mid a \mid + \mid -c \mid$.

Akan sama dengan $latex \mid a-c \mid \le \mid a \mid + \mid c \mid$

 

Akibat yang kedua :

 

$latex \mid \mid a \mid - \mid b \mid \mid \le \mid a-b \mid$

 

Buktinya silahkan.

 

 

 

 

 

 

 

Share this post