Dua lingkaran tidak berpotongan

 

Suatu masalah menarik untuk dibahas di sini. Bagaimana menunjukkan bahwa dua lingkaran itu tidak berpotongan, jika diketahui kedua persamaan lingkaran tersebut. Tulisan ini sekaligus menjawab pertanyaan dari pembaca yang bertanya di halaman Tanya Soal.

Jika lingkaran berpotongan, maka akan ada titik potongnya. Tentu saja. Dari dua buah lingkaran, maka akan ada beberapa kemungkinan-kmungkinan berikut ini :

 

Berhimpitan. Artinya, dua lingkaran itu mempunyai pusat dan jari-jari yang sama. Sehingga, lingkaran ini berhimpit pada semua pasangan titiknya.

 

Berpotongan. Berpotongan di sini adalah berpotongan dengan titik potong di dua titik. Titik-titik itu nantinya pasti akan simetri terhadap sumbu pusat (garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran.)

 

Bersinggungan. Berpotongan di satu titik. Titik potongnya pasti ada pada sumbu pusat (garis sumbu yang menghubungkan kedua pusat lingkaran)

 

Tidak berpotongan. Ada dua kemungkinan di sini. Pertama, bahwa lingkaran pertama berada di dalam lingkaran kedua. Artinya lingkaran pertama mempunyai jari-jari lebih kecil dari lingkaran kedua. Kedua, lingkaran pertama tidak berada di dalam lingkaran kedua. Jari-jari di sini tidak mempengaruhi.

Lingkaran pertama berada di dalam lingkaran kedua, ini juga terbagi menjadi dua kemungkinan. Pertama, kedua lingkaran itu sepusat, mempunyai pusat yang sama. kedua, lingkaran tidak sepusat.

 

Kali ini, yang akan dibahas di sini adalah mengenai dua lingkaran yang tidak berpotongan. Bagaimana kita mengetahui apakah kedua lingkaran itu berpotongan atau tidak, jika yang kita ketahui adalah persamaan lingkarannya.

 

Ada dua versi dari kami, yang pertama versi MS [m sihabudin] dan yang kedua versi SM [saniagus munendra]

 

 

Versi MS

 

Versi yang satu ini sangat memperhatikan letak. Apakah lingkaran kedua berada di dalam lingkaran pertama, atau kedua lingkaran ini saling berjauhan.

 

Perhatikan untuk lingkaran yang saling berjauhan berikut ini :

 



 

Lingkaran pertama mempunyai pusat $latex (a,b)$ dengan jari-jari $latex r_1$, sedangkan lingkaran kedua mempunyai pusat $latex (c,d)$ dengan jari-jari $latex r_2$. Jarak kedua pusatnya kami tuliskan dengan $latex m$

Kedua lingkaran akan sangat jelas tidak berpotongan ketika

 

$latex m>r_1+r_2$

 

Rumus untuk m bisa dicari dengan menggunakan rumus jarak dua titik

 

$latex m= \sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}$

 

Dengan $latex a,b,c,d$ adalah koordinat pusat yang telah dikatakan sebelumnya.

 

Bagaimana dengan lingkaran yang salah satu lingkarannya berada di dalam lingkaran yang lainnya. Seperti gambar berikut :

 

 



 

Konsep yang kita gunakan adalah sama. Lingkaran tidak akan berpotongan ketika kondisi berikut :

 

$latex r_1>m+r_2$

 

Mencari m juga sama dengan konsep sebelumnya.

 

Kelemahan dari versi pertama ini adalah bagaimana kita menentukan apakah pusat lingkaran kedua ada di dalam lingkaran kedua? Atau apakah pusat lingkaran kedua berada di luar lingkaran pertama?

 

Cara yang bisa digunakan untuk menentukan hal ini adalah mensubstitusikan koordinat pusat lingkaran pertama ke persamaan lingkaran kedua. Dan juga mensubstitusikan koordinat pusat lingkaran kedua ke persamaan lingkaran pertama. Jika nanti hasilnya sama lebih besar nol, maka pusat lingkaran berada di luar lingkaran yang lain. Jika didapatkan hasilnya kurang dari nol, maka pusat lingkaran berada di dalam lingkaran yang lainnya. Jika hasilnya sama dengan nol, maka pusat lingkaran tersebut ada pada lingkaran.

 

Mialnya soal yang ditanyakan sebagai berikut :

 

Tunjukkan bahwa kedua lingkaran berikut ini tidak berpotongan.

$latex x^2+y^2-4x-2y-11=0$ dan $latex x^2+y^2+20x-12y+72=0$

 

Misalnya lingkaran pertama adalah $latex x^2+y^2-4x-2y-11=0$

Dan lingkaran kedua adalah $latex x^2+y^2+20x-12y+72=0$

 

Lingkaran pertama mempunyai pusat di $latex (2,1)$ dengan jari-jari 4.

Lingkaran kedua mempunyai pusat di $latex (-10,6)$ dengan jari-jari 8.

 

Sekarang kita check, apakah pusat lingkaran pertama berada di dalam lingkaran kedua. Kita substitusikan $latex (2,1)$ ke dalam persamaan $latex x^2+y^2+20x-12y+72=0$, seperti berikut :

 

$latex x^2+y^2+20x-12y+72 \to 2^2+1^2+20(2)-12(1)+72=4+1+40-12+72=105>0$

 

Dapat disimpulkan, pusat lingkaran pertama tidak di dalam lingkaran kedua. Lalu, apakah pusat lingkaran kedua berada di dalam lingkaran pertama. Kita substitusikan $latex (-10,6)$ ke dalam persamaan $latex x^2+y^2-4x-2y-11=0$ , seperti berikut ini :

 

$latex x^2+y^2-4x-2y-11 \to (-10)^2+6^2-4(-10)-2(6)-11=100+36+40-12-11=143>0$

 

Maka dapat disimpulkan, pusat lingkaran kedua tidak di dalam lingkaran pertama. Sehingga kita bisa menngunakan rumus

 

$latex m>r_1+r_2$

 

Dengan $latex m= \sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}$

 

$latex m= \sqrt{(-10-2)^2+(6-1)^2}$

$latex m= \sqrt{144+25}$

$latex m= \sqrt{169}$

$latex m=13$

 

$latex r_1+r_2=8+4=12$

 

Ternya ini benar bahwa $latex m>r_1+r_2$ karena $latex 13>12$, sehingga bisa disimpulkan bahwa lingkaran kedua dan lingkaran pertama tidak saling berpotongan.

 

 

Versi SM

 

Versi kedua ini lebih mudah. Tetapi kelemahannya pada hitungannya yang rumit. Karena, kita hanya perlu menyamakan kedua persamaan lingkaran, dan kemudian mendapatkan suatu persamaan garis. Lalu, kita mengechek apakah garis itu memotong lingkaran pertama dan lingkaran kedua. Jika memotong salah satu lingkaran saja, maka dapat disimpulkan, kedua lingkaran itu berpotongan. Misalnya soal yang diberikan itu akan kita selesaikan dengan cara ini.

Seperti berikut :

 

Persamaan lingkaran pertama adalah $latex x^2+y^2-4x-2y-11=0$

Persamaan lingkaran kedua adalah $latex x^2+y^2+20x-12y+72=0$

Kita samakan sebagai berikut :

 

$latex x^2+y^2-4x-2y-11= x^2+y^2+20x-12y+72$

$latex -4x-2y-11=20x-12y+72$

$latex 10y=24x+83$

 

Tinggal mengecheck. Apakah persamaan garis itu memotong lingkaran pertama dan kedua atau tidak. jika tidak memotong, artinya, kedua lingkaran itu tidak berpotongan. Jika ternyata garis itu memotong lingkaran, maka kedua lingkaran ini berpotongan. Dan uniknya, perpotongan kedua lingkaran itu nantinya akan dilewati garis tersebut.

Mungkin, di sini perhitungan kita yang rumit. Karena kita harus mensubstitusikan persamaan garis itu kedalam kedua persamaan lingkaran. Nantinya akan didapatkan persamaan kuadrat. lalu, mengecheck apakah diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut lebih besas dari nol, atau kurang dari nol. Jika lebih besar nol, maka berpotongan. Jika kurang dari nol, maka tidak berpotongan.

 

Versi mana yang digunakan terserah pembaca. Pembaca yang bisa menentukan mana yang enak untuk dipakai.

Silahkan.

Smoga bermanfaat.

 

SM dan MS

 

 

Share this post