Bilangan segitiga

 



 

Bilangan segitiga ini berasal dari titik-titik yang membentuk segitiga. Untuk satu titik dalam satu sisinya hanya perlu satu titik untuk membentuk suatu segitiga. Untuk 2 titik per sisinya, jumlah total titik yang diperlukan adalah 3 titik. Untuk 3 titik tiap sisi, total titik yang dibutuhkan adalah 6. Dalam tabel sebagai berikut

 

Titik pada sisi	1	2	3	4	5	6	7	…	n
Total pada segitiga	1	3	6	10	15	21	28	…	?

Bilangan atau barisan segitiga bisa kita tuliskan

 

$latex 1,3,6,10,15,21,28, \dots$

 

Beda dari barisan ini adalah meningkat dimulai dari $latex 2,3,4,5, \dots ,$ dst

 

Untuk mencari suku ke-n. Kita akan menjabarkannya

 

$latex u_1=1$

$latex u_2=1+2$

$latex u_3=1+2+3$

$latex u_4=1+2+3+4$

$latex u_5=1+2+3+4+5$

 

$latex \dots$

 

$latex u_n=1+2+3+4+5+ \dots+n$

 

Suku ke-n adalah jumlah barisan aritmetika untuk n suku dengan beda 1.

 

$latex u_n= \frac{(1+n)n}{2}$

 

Untuk mencari bilangan segitiga ke-n, bisa menggunakan rumus tersebut.

 

 



Beberapa hal tentang bilangan segitiga






*Bilangan segitiga ke - $latex 3k$ (k bilangan asli), maka bilangan segitiga itu habis dibagi 3. Misalnya bilangan segitiga ke 3, 6, 9, 12, 15 secara berurutan adalah 6, 21, 45, 78, 120 (semuanya habis dibagi 3)

 

Bukti :

Menggunakan induksi matematika. Akan dibuktikan $latex \frac{(1+3k)3k}{2}=3p$

Benar untuk k=1, yaitu $latex \frac{(4)3}{2}=3.2$

Anggap benar untuk $latex k=l$, yaitu benar bahwa $latex \frac{(1+3l)3l}{2}=3q$ atau $latex \frac{(9l^2+3l}{2}=3r$

Akan dibuktikan benar untuk $latex k=l+1$

$latex \frac{(1+3(l+1))3(l+1)}{2}$

$latex = \frac{(3l+4)(3l+3)}{2}$

$latex = \frac{9l^2+9l+12l+12}{2}$

$latex = \frac{(9l^2+3l}{2}+ \frac{18l+12}{2}$

$latex = 3r+(9l+6)$

$latex = 3(r+3l+2)$

 

Merupakan kelipatan 3. Sehingga terbukti bahwa untuk semua k, $latex \frac{(1+3k)3k}{2}$ hais dibagi 3. Atau juga bisa dikatakan bahwa untuk setiap $latex n=3k$, maka $latex \frac{(1+n)n}{2}$ habis dibagi 3.

 

*Bilangan segitiga ke - $latex (3k+2)$ dengan k bilangan asli, juga habis dibagi 3. Bilangan segitiga ke 2, 5, 8, 11 berurutan adalah 3, 15, 36, 66. Dan mereka semua habis dibagi 3. Buktinya silahkan dicoba. Langkahnya sama dengan yang di atasnya.

 

*Bilangan segitiga ke - $latex (3k+1)$ dengan k bilangan asli, tidak habis dibagi 3. Melainkan akan bersisa 1 jika dibagi 3. Bukti silahkan sebagai latihan

 

*Bilangan segitiga ke - $latex (4k)$ dengan k bilangan asli, habis dibagi 2

 

*Bilangan segitiga ke - $latex (4k-1)$ dengan k bilangan asli, juga habis dibagi 2

 

*Bilangan segitiga ke - $latex (4k+1)$ dan ke - $latex (4k+2)$ dengan k bilangan asli, tidak habis dibagi 2.

 

Ini akan mengakibatkan bahwa bilangan segitiga ke-(12+1) dan bilangan segitiga ke-(12k+10) dengan k bilangan asli, tidak habis dibagi 2 dan juga tidak habis dibagi 3.

 

Lalu, apakah mereka merupakan bilangan prima?

 

Bilangan segitiga ke - $latex (12k+1)$ dan ke - $latex (12k+10)$ pertama antara lain bilangan segitiga ke 1, 10, 13, 22, 25, 34, 37, 46, … berurutan adalah 1, 55, 91, 253, 325, 595, 703, 1081, …

Mereka semua bukan bilangan prima. secara berurutan mereka habis dibagi 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

 

Inilah yang akan menjadi bahasan kita selanjutnya. Ini kami temukan dari mencari sendiri. Kami menyimpulkan bahwa, nantinya akan mempunyai dugaan sebagai berikut

 

“jika p bilangan prima, maka p(2p+1) adalah bilangan segitiga”

 

Dan dugaan kami lagi yaitu

 

“bilangan dengan bentuk $latex p(2p+1)$ pasti merupakan bilangan segitiga ke - $latex (12k+1)$ dan ke - $latex (12k+10)$ dengan k anggota bilangan cacah”

 

Tentunya ini belum kami buktikan. Insya Allah akan menjadi bahasan kami selanjutnya.

 

Pencarian : Bilangan segitiga, Hubungan bilangan prima dengan bilangan segitiga, Teorema-teorema pada bilangan segitiga, Barisan Segitiga, Bilangan segitiga ke-n

Tulisan Terkait : Sama dengan selisih dua bilangan di atasnya (bilangan segitiga)

Tulisan Terbaru :

[archives limit=5]

 

Share this post