Asal rumus jumlah khusus bilangan asli (2)

Pada postingan sebelumnya telah ditemukan suatu rumus untuk menentukan jumlah bilangan asli dari 1 sampai n. begitu juga untuk kuadratnya ($latex 1^2+2^2$ sampai $latex n^2$). $latex \frac{n(n+1)}{2}$ , untuk bagian yang pertama. dan $latex \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ , untuk bagian yang kedua

$latex 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+ \dots +n= \frac{n(n+1)}{2}$

$latex 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+ \dots +n= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$



Sebelumnya pun juga dituliskan mengenai cara menemukan rumusnya dengan bantuan sifat-sifat sigma. Kali ini akan diberikan cara menemukannya dengan menggunakan fungsi pembangkit.

Sebelumnya kita kenalkan dulu bentuk yang akan sangat penting ini :

$latex \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+ \dots$

Dan teorema ini :

“Jika $latex f(x)$ adalah fungsi pembangkit dari $latex a$, maka $latex \frac{f(x)}{1-x}$ adalah fungsi pembangkit dari $latex a_0+a_1+ \dots +a_n$”

Untuk mencari rumus-rumus atau kita katakan sebagai “membangkitkan rumus” dengan fungsi pembangkit, kita harus bisa mengutak-atik dengan cara memanipulasinya. Dengan menurunkannya, mengalikan dengan sesuatu, mengalikan dengan x, dan sebagainya.

Kita akan emncoba mencari rumus dari :

$latex 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+ \dots +n= \frac{n(n+1)}{2}$

Dengan menggunakan fungsi pembangkit.

Pertama, kita perhatikan bentuk ini :

$latex \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+ \dots$

Kemudian kita turunkan terhadap x. Untuk ruas kiri silahkan dihitung! Sambil belajar. Diperoleh seperti berikut ini :

$latex \frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+ \dots$

Mengapa kita turunkan? Karena kita ingin mencari bentuk $latex 1+2+3+ \dots$. Setelah kita turunkan terhadap x, ternyata kita mendapatkan bentuk $latex 1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+ \dots$.

Koefisiennya masih belum sama dengan pangkatnya. Kita perlu menyamakannya agar nantinya untuk mencari koefisien $latex x^r$, kita bisa langsung juga bisa menemukan rumus $latex 1+2+3+4+ \dots +r$

Kita kalikan dengan x :

$latex \frac{x}{(1-x)^2}=1x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+ \dots$

Setelah kita mendapatkan bentuk ini. Coba sekarang kita cari koefisien $latex x^r$!

Koefisien dari $latex x^1$ adalah 1

Koefisien dari $latex x^2$ adalah 2

Koefisien dari $latex x^3$ adalah 3

Koefisien dari $latex x^r$ adalah r

Dan seterusnya

Dengan menggunakan teorema, maka kita bisa mendapatkan :

$latex \frac{x}{(1-x)^2} \frac{1}{1-x}=(1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+ \dots)(1+x+x^2+x^3+x^4+ \dots)$

$latex \frac{x}{(1-x)^3}=1+(1+2)x+(1+2+3)x^2+(1+2+3+4)x^3+ \dots$

Sekarang, kita hanya perlu mecari koefisien dari $latex x^r$ untuk mencari rumus dari $latex 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+ \dots +n$

Koefisien dari $latex x^r$ di ruas kanan adalah $latex 1+2+3+4+5+ \dots +r$. kita cari koefisien dari $latex x^r$ di ruas kiri.

$latex \frac{x}{(1-x)^3}=x \frac{1}{(1-x)^3}$

$latex =x(1+x+x^2+x^3+x^4+…)^3$

Perhatikan sifat ini :

“Koefisien $latex x^r$ dari bentuk $latex =(1+x+x^2+x^3+x^4+…)^n$ adalah $latex \binom{n-1+r}{r}$”

Sehingga, untuk mencari koefisien $latex x^r$ dari bentuk $latex =x(1+x+x^2+x^3+x^4+…)^3$ adalah $latex \binom{3-1+r-1}{r-1}$

$latex \binom{3-1+r-1}{r-1}= \binom{r+1}{r-1}$

$latex = \frac{(r+1)!}{2!(r-1)!}= \frac{(r+1)(r)(r-1)!}{2(r-1)!}= \frac{r(r+1)}{2}$

Dan akhirnya diperoleh rumusnya

Untuk mencari rumus berikut ini :

$latex 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+ \dots +n= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Perhatikan langkah-langkah berikut :

$latex \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+ \dots$

Kita turunkan terhadap x, yaitu :

$latex \frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+ \dots$

Kemudian, kita kalikan dengan x, yaitu :

$latex \frac{x}{(1-x)^2}=1x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+ \dots$

Kita turunkan lagi terhadap x (untuk ruas kiri silahkan diturunkan dengan aturan pembagian pada turunan), yaitu :

$latex \frac{1+x}{(1-x)^3}=1+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+5^2x^4+ \dots$

Kalikan dengan x lagi, yaitu :

$latex \frac{x+x^2}{(1-x)^3}=1x+2^2x^2+3^2x^3+4^2x^4+5^2x^5+ \dots$

Perhatikan ruas kanan!

Koefisien dari $latex x^1$ adalah 1

Koefisien dari $latex x^2$ adalah $latex 2^2$

Koefisien dari $latex x^3$ adalah $latex 3^2$

Koefisien dari $latex x^r$ adalah $latex r^2$

Dan seterusnya

Seperti soal yang sebelumnya, kita kalikan dengan $latex \frac{1}{1-x}$ untuk menemukan rumus dari $latex 1^2+2^2+3^2+ \dots +r$. didapatkan :

$latex \frac{x+x^2}{(1-x)^4}=1x+(1^2+2^2)x^2+(1^2+2^2+3^2)x^3+(1^2+2^2+3^2+4^2)x^4+ \dots$

Koefisien ruas kanan sudah seperti yang diinginkan, sekarang kita mencari koefisien dari ruas kiri. Koefisien dari ruas kiri adalah :

$latex \frac{x+x^2}{(1-x)^4}=(x+x^3)(1+x+x^2+x^3+x^4+ \dots)^4

Koefisisen $latex x^r$ bisa ditemukan dengan teorema yang sebelumnya. Sehingga diperoleh :

$latex \binom{4-1+r-1}{r-1}+ \binom{4-1+r-2}{r-2}=\binom{r+2}{r-1}+ \binom{r+1}{r-2}$

$latex = \frac{(r+2)(r+1)r}{3!}+ \frac{(r+1)r(r-1)}{3!}$

$latex = \frac{r(r+1)(2r+1)}{6}$

Akhirnya diperoleh rumus yang diinginkan.

Cara ini memang agak rumit. Tetapi akan sangat membantu untuk membangkitkan suatu fungsi yang lebih rumit. Dengan cara sifat penjumlahan (sigma) saja kita akan kesulitan mencari suatu rumus seperti ini. Maka dari itu, belajar fungsi pembangkit adalah hal yang menyenangkan. Karena kita bisa mencari suatu rumus dari suatu deret.

Tentunya kemudian kita buktikan dengan menggunakan induksi matematika

Semoga bermanfaat.

Tulisan Terbaru :

[archives limit=7]

Share this post