Pecahan berlanjut (continued fraction)

  

Kalau postingan sebelumnya mengenai desimal berulang, kali ini akan disajikan yang berbeda, yaitu pecahan berlanjut atau pecahan berulang.

Setiap bilangan real pasti bisa dituliskan ke dalam bentuk pecahan berulang. Entah itu bilangan rasional atau bilangan irasional. Bedanya, jika bilangan itu rasional, maka pecahan berulang yang terbentuk adalah terhingga (finite). Sedangkan jika bilangan itu irasional, pecahan berulangnya adalah tak hingga (infinite) / tak berhenti.



  

Bagaimana bentuk pecahan berulang itu?

 

$latex 1+ \frac{1}{2+ \frac{1}{2+ \frac{1}{2+ \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}}}}&s=2$

  

Itu adalah sebagai contoh!!

Pecahan berulang tersebut rak hingga, sehingga bilangannya pun merupakan bilangan irasional. Bentuk tersebut setara dengan $latex \sqrt{2}$

 

Bentuk umum pecahan berulang yaitu

  

$latex a_0+ \frac{1}{b_1+ \frac{1}{b_2+ \frac{1}{b_3+ \frac{1}{b_4 + \frac{1}{b_5 + \dots}}}}}&s=2$

  

Itu untuk bentuk tak hingga banyaknya, jadi pecahan berulangnya tak berhenti.

 

Untuk pecahan berulang yang hingga, bentuk pecahan tersebut akan berhenti.

Untuk pecahan berulang yang hingga, misalnya.

 

$latex 2,259259259 \dots$

 

Tentunya sudah tahu dan bisa merubah desimal berulang itu ke dalam pecahan biasa. Jika ditulis dalam bentuk pecahan biasa, bentuk tersebut sama dengan $latex 61/27$. Bagaimana jika kita tuliskan ke dalam bentuk pecahan berulang.

Ingat. karena merupakan bilangan rasional, maka pecahan berulangnya adalah hingga.

 

$latex \frac{61}{27}=2+ \frac{7}{27}$

$latex \frac{61}{27}=2+ \frac{1}{ \frac{27}{7}}&s=1$

$latex \frac{61}{27}=2+ \frac{1}{3+ \frac{6}{7}}&s=1$

$latex \frac{61}{27}=2+ \frac{1}{3+ \frac{1}{ \frac{7}{6}}}&s=2$

$latex \frac{61}{27}=2+ \frac{1}{3+ \frac{1}{1+ \frac{1}{6}}}&s=2$

 

Pembilang dari masing-masing pecahan bagiannya adalah 1. Penulisan lainnya bisa juga seperti ini :

 

$latex [2;3,1,6]$

 

Penulisan ini tentu saja bertujuan untuk memperpendek tulisan yang sangat panjang tersebut.

Contoh pecahan berulang yang tak berhenti adalah :

 

$latex \sqrt{2}=1+ \frac{1}{2+ \frac{1}{2+ \frac{1}{2+ \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}}}}&s=2$

 

Dalam penulisan sederhananya yaitu :

 

$latex [1;2,2,2,2,2, \dots]$

 

Dalam penulisan yang lebih sederhana yaitu  $latex [1; \overline{2}]$

 

Pecahannya sama-sama berulang. Hanya saja ada yang berhenti dan ada yang tidak berhenti. Perbedaan ini terletak pada bilangannya. Jika bilangan rasional, maka pecahan berulangnya berhenti. Sedangkan jika bilangan irasional, maka pecahan berulangnya tidak berhenti.

 

 

Pendekatan nilai pada bilangan irasional (dijadikan desimal)

 

Menggunakan kalkulator memang merupakan langkah yang sangat meudah dan cepat. Tapi, bagaimana jika kita ingin mengerjakan secara manual.

Dengan menggunakan pecahan berulang. $latex \sqrt{2}$ bisa kita dekati nilainya menjadi pecahan. Tentu saja dengan cara mengambil pecahan berulang beberapa yang pertama saja.

 

Secara berurutan, pendekatannya seperti berikut ini :

 

$latex 1; \frac{3}{2}; \frac{7}{5}; \frac{17}{12}; \frac{41}{29}; \frac{99}{70}; \frac{239}{169}; \frac{577}{408}; \dots \frac{3363}{2378}; \dots&s=1$

 

Maksudnya seperti apa sih?

Jadi, apabila pecahan berulang untuk $latex \sqrt{2}$, jika kita ambil beberapa saja di depan, maka akan menjadi nilai pecahan tersebut. Jika diambil satu saja ya hasilnya sama dengan 1.

 

Jika diambil 2 dari depan. Maka bisa dituliskan :

$latex \sqrt{2}=1+ \frac{1}{2}= \frac{3}{2}$

 

Jika diambil 3 dari depan. Maka bisa dituliskan :

$latex \sqrt{2}=1+ \frac{1}{2+ \frac{1}{2}}= \frac{7}{5}&s=1$

 

Dan seterusnya …

 

Ternyata masih banyak yang belum kita ketahui di matematika. Setelah desimal berulang untuk bilangan rasional. Sekarang ada pecahan berulang berhenti untuk bilangan rasional. Setelah ada desimal tak berulang untuk bilangan irasional, sekarang kita mengetahui ada pecahan berulang tak berhenti untuk bilangan irasional.

Banyak sekali yang belum kita ketahui di matematika.

Semoga bermanfaat

 

Tulisan Terbaru :

[archives limit=7]

  

Share this post