Deret pangkat yang hasilnya kuadrat

 

Pertanyaan yang membuat geram.

Carilah berapa banyak suku pada deret kuadrat (bilangan asli) sehingga nilai deret itu adalah kuadrat sempurna?

Mungkin beberapa penjawab sudah mengerti. Hanya 1 suku sudah selesai. Karena bilangan 1 adalah bilangan kuadrat sempurna. Padahal saya menghitungnya sampai beberapa suku.

Tetapi dengan ini saya terus mencari. Berapa lagi ya yang menghasilkan kuadrat sempurna.

 

$latex 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+ \dots$

 


Setelah lama mencarinya akhirnya ketemu. Berjumlah 4900, yang merupakan kuadrat sempurna $latex 4900=70^2$. Ini merupakan jumlah dari deret kuadrat (bilangan asli) dari 1 sampai 24.

 

$latex 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+ \dots+24^2$

 


Selanjutnya berapa? Setelah kami cari-cari. Sampai 10000 suku juga belum ditemui. Rasanya harus buat suatu program untuk ini. Tunggu saja.




Kalo bentuk di atas merupakan deret pangkat dua (dari bilangan asli). Bagaimana dengan deret pangkat 1 (deret bilangan asli).

 

$latex 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+ \dots$

 


Tidak jauh-jauh. Hanya sampai suku ke-8 saja sudah menghasilkan jumlah deret bilangan kuadrat sempurna. $latex 1+2+3+4+5+6+7+8=36$. Hasilnya adalah 36 yang merupakan kuadrat sempurna. Karena $latex 36=6^2$

Selanjutnya juga tidak terlalu jauh. Hasil penjumlahan deret yang selanjutnya adalah 1225 atau sama dengan $latex 35^2$. Ini merupakan deret bilangan asli dengan suku-sukunya sebanyak 49. Deretnya yaitu : $latex 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+ \dots+49=1225$




Selanjutnya lagi agak jauh, yaitu berjumlah 41616, yang setara dengan $latex 204^2$. Merupakan jumlah deret bilangan asli dengan suku sebanyak 288.

Untuk yang selanjutnya mungkin bisa ditemukan sendiri. Karena untuk pangkat dua ini tidak terlalu rumit untuk menemukannya.




Bagaimana untuk deret pangkat tiga (dari bilangan asli)




Untuk deret pangkat 3, semuanya masuk. Karena pada deret pangkat 3 berlaku :

$latex 1^3+2^3=(1+2)^2$

$latex 1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2$

$latex 1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2$

$latex 1^3+2^3+3^3+4^3+ \dots=(1+2+3+4+ \dots)^2$




Sehingga berapapun suku yang diambil, maka akan membentuk bilangan kuadrat.




Untuk deret pangkat 4. Kami belum menemukannya. Karena deret pada pangkat dua hanya sampai suku 24 yang merupakan kuadrat sempurna. Untuk yang lebih besar, belum kami cari. Mohon maaf. Nanti akan kami cari kalo udah longgar waktunya.

Sekian dulu untuk postingan kali ini. Salam.



Tulisan Terbaru :

[archives limit=7]

Share this post