Soal olimpiade 1

  

Mengerjakan soal olimpiade itu susah. Semua orang juga mengatakan hal yang sama seperti yang kami katakan ini. Soal-soal olimpiade itu susah. Memang. Susahnya dimana? Ide? Langkah awal? Itulah susahnya mengerjakan soal olimpiade. Siapa yang berpengalaman, dialah yang menang.

Berikut ini contoh soal olimpiade yang menggelitik bagi kami. Susah sekali memikirkan ide atau langkah awalnya. Tetapi ternyata penyelesaiannya sangatlah sederhana.




$latex (8+9)(8^2+9^2)(8^4+9^4)(8^8+9^8)(8^{16}+9^{16})(8^{32}+9^{32})(8^{64}+9^{64})$




Jika hasilnya dituliskan dalam bentuk $latex a.2^x+b.3^y$, maka tentukan nilai dari $latex (a \times x)-(b \times y)$!




Bagaimana cara menyelesaikan soal ini!

Langkah ini kami dapatkan dari grup facebook SOUL-MATE-MATIKA. Soal kami modifikasi sedikit. Sebelumnya, kami sendiri kebingungan mau diapakan soal seperti ini. Ternyata idenya sangatlah mendasar.

Perhatikan bahwa : $latex (a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Inilah ide atau langkah awal kita.




Bagaimana kalau soal tersebut kita tuliskan menjadi :




$latex (9+8)(9^2+8^2)(9^4+8^4)(9^8+8^8)(9^{16}+8^{16})(9^{32}+8^{32})(9^{64}+8^{64})$




Dan sedikit kita manipulasi menjadi :




$latex (9-8)(9+8)(9^2+8^2)(9^4+8^4)(9^8+8^8)(9^{16}+8^{16})(9^{32}+8^{32})(9^{64}+8^{64})$




Akhirnya kita dapatkan ide tersebut. Tinggal melakukannya. Seperti berikut ini :




$latex (9^2-8^2)(9^2+8^2)(9^4+8^4)(9^8+8^8)(9^{16}+8^{16})(9^{32}+8^{32})(9^{64}+8^{64})$

$latex =(9^4-8^4)(9^4+8^4)(9^8+8^8)(9^{16}+8^{16})(9^{32}+8^{32})(9^{64}+8^{64})$

$latex =(9^8-8^8)(9^8+8^8)(9^{16}+8^{16})(9^{32}+8^{32})(9^{64}+8^{64})$

$latex =(9^{16}-8^{16})(9^{16}+8^{16})(9^{32}+8^{32})(9^{64}+8^{64})$

$latex =(9^{32}-8^{32})(9^{32}+8^{32})(9^{64}+8^{64})$

$latex =(9^{64}-8^{64})(9^{64}+8^{64})$

$latex =9^{128}-8^{128}$




Bentuk terakhir bisa kita tuliskan menjadi :




$latex =(3^2)^{128}-(2^3)^{128}$

$latex =3^{256}-2^{384}$




Sehingga kita dapatkan $latex a=-1,b=1,x=384,y=256$

Sehingga nilai dari $latex (a \times y)-(b \times x)=-256+384=128$




Bagaimana pendapat pembaca? Susahnya terletak pada saat kita mencari langkah awal. Selanjutnya, mudah saja. tinggal menggunakan sifat-sifat yang ada.

Lalu, bagaimana kita bisa mempunyai ide2 yang cemerlang. Kuncinya terletak pada banyak membaca dan banyak mencoba. Itu pun juga masih belum kami miliki.

Selamat belajar.

  

Tulisan Terbaru :

[archives limit=7]

 

Share this post