Bilangan kompleks dan sifat-sifatnya

  

Bilangan kompleks dituliskan sebagai $latex a+bi$

Jika $latex z=a+bi$ merupakan suatu bilangan kompleks, maka a adalah bagian nyata dan b adalah bagian imajiner. Ingat a dan b di sini adalah bilangan real.
Jadi bisa dituliskan

$latex R(z)=a$ dan $latex I(z)=b$




Jika $latex R(z)=0$ dan $latex I(z) \ne 0$ maka disebut bilangan kompleks murni

Jika $latex R(z)=0$ dan $latex I(z)=1$ atau dituliskan sebagai $latex z=i$ disebut satuan khayal


Kesamaan bilangan kompleks

Jika $latex z=a+bi$, maka $latex z_1=z_2$ yaitu jika

$latex a_1=a_2$ dan $latex b_1=b_2$




Jumlah pada bilangan kompleks yaitu

$latex z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i $




Perkaliannya

$latex z_1 \times z_2=(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i$




$latex i^2=-1$




Di dalam bilangan kompleks juga dikenal bilangan nol, yaitu merupakan identitas penjumlahan, yaitu $latex 0+0i$

Dan identitas perkaliannya adalah $latex 1+0i$




Lawan penjumlahannya, $latex -z$

Jika $latex z=a+bi$ maka $latex -z=-a-bi$

Kebalikan dari z, yaitu $latex \dfrac{1}{z}$

$latex z^{-1}= \dfrac{x}{x^2+y^2}- \dfrac{y}{x^2+y^2}i$




$latex zz^{-1}=1$




Sekawan (Conjugation)

Jika $latex z=a+bi$ adalah bilangan kompleks, maka sekawannya (conjugation) dari z adalah $latex \bar z =a-bi$




Sifat-sifat bilangan kompleks




Komutatif

$latex z_1+z_2=z_2+z_1$

$latex z_1z_2=z_2z_1$




Asosiatif

$latex z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3$

$latex z_1(z_2z_3)=(z_1z_2)z_3$




Distributif

$latex z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$




Distributivitas kesekawanan

$latex \overline{z_1+z_2}= \bar z_1+ \bar z_2$

$latex \overline{z_1-z_2}= \bar z_1- \bar z_2$

$latex \overline{z_1z_2}= \bar z_1 \bar z_2$

$latex \overline{z_1/z_2}= \bar z_1/ \bar z_2$




$latex \overline{ \overline{z}}=z$




$latex z \bar z=[R(z)]^2+[I(z)]^2$




Beberapa soal :

Tuliskan dalam bentuk $latex A+Bi$ untuk $latex \dfrac{1+i}{1-i}$

Jawaban :

$latex \dfrac{1+i}{1-i}= \dfrac{1+i}{1-i} \dfrac{1+i}{1+i}= \dfrac{1+2i+i^2}{1-i^2}= \dfrac{2i}{2}=i$

Maka $latex \dfrac{1+i}{1-i}=0+i$




Pangkat bulat tak negatif pada bilangan kompleks didefinisikan seperti pada bilangan nyata, yaitu

$latex z^1=z$

$latex z^2=zz$

$latex z^3=z^2z$

$latex \dots$

$latex z^{n+1}=z^nz$

Dan bila $latex z \ne 0$, maka $latex z^0=1$

   

Tulisan Terbaru :
[archives limit=7]

  

Share this post