Distribusi Binomial

Percobaan Bernoulli dapat menghasilkan suatu sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q = 1 – p. Maka distribusi probabilitas variabel acak binomial X, jumlah sukses di dalam n percobaan diberikan oleh

 

$latex b(x;n,p)= \binom{n}{x} p^xq^{n-x}, \quad x=0,1,2,3, \dots ,n$

Ada kalanya perhitungan probabilitas distribusi binomial lebih mudah dilakukan dengan menggunakan distribusi kumulatif. Bila pada n percobaan terdapat paling tidak sebanyak r sukses, maka distribusi binomial kumulatif $latex P(X \ge r)$  dinyatakan sebagai:

 

$latex P(X \ge r)=b(r;n,p)+b((r+1);n,p))+ \dots +b(n;n,p)= \sum \limits_{x=r}^n b(r;n,p) $

 

Suatu syarat terpenting dalam suatu distribusi probabilitas adalah nilai $latex F(x)=1$, untuk suatu x yang terbesar. Ingat kembali bahwa salah satu sifat $latex F(x)$, yaitu $latex F(x)=0$ untuk x menuju $latex - \infty$ dan $latex F(x)=1$ untuk x menuju $latex + \infty$.

 

Dengan kata lain, pada distribusi binomial harus memenuhi $latex F(x)=1$, untuk $latex x=n$.

 

$latex \sum \limits_{x=0}^n b(x;n,p)=1$

 

 

Bukti :

 

Menurut definisi distribusi binomial, $latex b(x;n,p)= \binom{n}{x} p^xq^{n-x}, \quad x=0,1,2,3, \dots ,n$

Sehingga,

 

$latex \sum \limits_{x=0}^n b(x;n,p)= \binom{n}{0}p^0q^{n-0}+ \binom{n}{1}p^1q^{n-1}+ \dots + \binom{n}{n}p^nq^{n-n}$

 

Bentuk terakhir adalah sama dengan bentuk binomial newton, yang sama dengan $latex (p+q)^n$.

 

Peluang sukses ditambah peluang gagal suatu kejadian sama dengan 1. Ingat, distribusi yang kita bicarakan hanyalah mempunyai peluang gagal atau sukses. Jadi, nilai $latex p+q=1$ . Selanjutnya kita substitusikan nilai ini ke dalam bentuk yang terkhir, yaitu $latex (p+q)^n$. Sehingga diperoleh $latex (1)^n=1$

 

Ini mengimplikasikan bahwa

 

$latex \binom{n}{0}p^0q^{n-0}+ \binom{n}{1}p^1q^{n-1}+ \dots + \binom{n}{n}p^nq^{n-n}=1$

 

Dan mengimplikasikan

 

$latex \sum \limits_{x=0}^n b(x;n,p)=1$

 

Terbukti

 

 

Contoh 1

Probabilitas bahwa sejenis komponen tertentu yang akan bertahan terhadap uji-kejut adalah $latex \frac{3}{4}$. Carilah probabilitas dimana 2 dari 4 komponen yang selanjutnya diuji akan bertahan.

 

Penyelesaian:

Dengan mengasumsikan bahwa pengujian tersebut bebas dan $latex p= \frac{3}{4}$ untuk masing-masing dari keempat pengujian tersebut, kita dapatkan x=2

$latex b(x;3, \frac{1}{4})= \binom{4}{2} ( \frac{3}{4})^2( \frac{1}{4})^2= \frac{4!}{2!2!} \frac{3^2}{4^4}= \frac{27}{128}$

 

Tulisan Terbaru :

 

[archives limit=5]

 

Share this post