Pertidaksamaan AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means)
Suatu peridaksamaan yang memang jarang terpikirkan oleh kita. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan real a, b dengan $latex a \ge 0$ dan $latex b \ge 0$ berlaku
Baca Juga
$latex \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}&s=2$
Bukti : Suatu hal yang sudah kita ketahui, bahwa bilangan kuadrat selalu bernilai positif (kita tidak bicara mengenai bilangan kompleks). Jika $latex a \ge 0$ dan $latex b \ge 0$, maka
$latex ( \sqrt{a}- \sqrt{b})^2 \ge 0&s=1$
$latex a-2 \sqrt{ab}+b \ge 0&s=1$
atau
$latex \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}&s=1$
Perhatikan syarat a dan b, jika a dan b negative, akan mengakibatkan $latex \sqrt{a}$ dan $latex \sqrt{b}$ tidak bernilai pada bilangan real. Pertidaksamaan terakhir disebut sebagai rata-rata aritmetika.
Sedangkan jika $latex a \ge 0$ dan $latex b \ge 0$, maka bilangan
$latex \sqrt{ab}=(ab)^{ \frac{1}{2}}&s=1$
Ini disebut sebagai rata-rata geometri. Pertidaksamaan pada soal mengatakan bahwa rata-rata aritmetika lebih besar dari pada rata-rata geometri. Oleh karena itu pertidaksamaan seperti ini disebut pertidaksamaan aritmetika dan geometri. Dan sering disingkat sebagai Pertidaksamaan AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means)
Pertidaksamaan AM-GM ini akan sering digunakan untuk membuktikan suatu soal-soal pertidaksamaan yang lainnya. Gunanya pun sangat banyak nantinya.
Tulisan Terbaru :
[archives limit=5]
[...] Terkait : Pertidaksamaan AM-GM, Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz, Ketaksamaan Segitiga, [...]
BalasHapusSaya pernah belajar ini ga, ya?
BalasHapusdi SMA, kalau di materi biasa ya belum kayaknya... mungkin di bimbingan pra olimpiade atau apa gitu semacamnya
BalasHapus[…] Terkait : Pertidaksamaan AM-GM, Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz, Ketaksamaan […]
BalasHapusmau nanya, pertidaksamaan AM-GM salah satu gunanya apa ya? trims
BalasHapus