Tripel Pythagoras dan Tripel Pythagoras Primitif

Tiga angka a, b dan c disebut tripel pythagoras jika dan hanya jika memenuhi $latex a^2+b^2=c^2$. Contohnya (3, 4 dan 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10), dan sebagainya. Beberapa sifat penting mengenai angka-angka pada tripel pythagoras yaitu :

1.    Jika a, b dan c adalah tripel Pythagoras, maka a, b dan c adalah bilangan genap (ketiga-tiganya genap) atau

2.    Dua angka ganjil dan satu angka genap.

  

Tripel Pythagoras tidak pernah terdiri dari bilangan yang ketiga-tiganya ganjil atau dua genap satu ganjil. Ini dikarenakan sifat pada genap dan ganjil, yaitu :

1.   Kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

2.   Kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap

3.   Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap

4.   Bilangan ganjil ditambah bilangan genap adalah bilangan ganjil

 

 

Tripel Pythagoras primitif

$latex a^2+b^2=c^2$. Jika a, b dan c tidak memiliki faktor persekutuan yang sama kecuali 1, maka tripel pythagoras tersebut disebut tripel pythagoras primitive. Contohnya yang paling mudah yaitu (3, 4 dan 5) disebut tripel Pythagoras primitive. Contoh yang bukan merupakan tripel pythagoras primitif adalah (6, 8 dan 10). Itu bukan merupakan tripel pythagoras primitif karena (6, 8 dan 10) merupakan kelipatan dua dari (3, 4 dan 5).

  

  

Beberapa sifat penting :

1.  Bila (a, b dan c) merupakan tripel pythagoras primitive, maka sedikitnya satu dari a, b dan c merupakan bilangan ganjil

2. Bila (a, b dan c) merupakan tripel pythagoras primitive, bila salah satu dari a atau b merupakan bilangan genap, maka c merupakan bilangan ganjil.

 

Jika (a, b dan c) merupakan tripel Pythagoras primitive, maka berlaku

$latex x=m^2-n^2$, \qquad y=2mn, \qquad z=m^2+n^2$

dengan m dan n bilangan asli, $latex m > n$, serta m dan n relative merupakan bilangan prima tetapi tidak kedua-duanya.

 

Bukti

Jika p merupakan bilangan prima dan faktor persekutuan dari a, b dan c yang ketiganya berhubungan dalam $latex a^2+b^2=c^2$, maka bisa dituliskan sebagai

p membagi $latex (c + a) = 2m^2$

p membagi $latex (c - a) = 2n^2$

p membagi $latex (c + b) = (m + n)^2$

karena $latex m + n$ merupakan bilangan ganjil  maka $latex p \ne 2$

karena p membagi $latex 2m^2$  maka p membagi $latex m$

karena p membagi $latex 2n^2$  maka p membagi $latex n$

 

jika kita misalkan p adalah faktor persekutuan dari m dan n. maka kontradiksi dengan kenyataan bahwa m dan n relative bilangan prima. Maka (a, b dan c) adalah tripel pythagoras primitive.

Jika kita anggap (a, b dan c) adalah tripel Pythagoras primitive, maka kita dapat mengasumsikan bahwa b adalah bilangan genap.

$latex a^2+b^2=c^2$   maka   $latex b^2=c^2-a^2$

$latex b^2=(c - a)(c + a)$

$latex ( \frac{b}{2})^2=( \frac{(c - a)}{2})( \frac{(c + a)}{2})$

dengan $latex \frac{(c-a)}{2}$  dan   $latex \frac{(c+a)}{2}$  bilangan yang relatif prima.

 

Jika $latex m^2= \frac{(c-a)}{2}$  dan $latex n^2= \frac{(c + a)}{2}$   untuk m dan n bilangan asli, dengan demikian didapatkan

$latex x=m^2-n^2$, \qquad y=2mn, \qquad z=m^2+n^2$

karena $latex a > 0$  maka $latex m^2-n^2>0$. Diperoleh $latex m > n$.

Karena $latex \frac{(c-a)}{2}$  dan $latex \frac{(c+a)}{2}$  bilangan yang relative prima, maka $latex m^2$ dan $latex n^2$  adalah relatif prima. Maka didapatkan m dan n adalah relative prima.

Akhirnya m dan n didapatkan keduanya tidak boleh ganjil, sebaliknya $latex z = m^2 + n^2 \equiv 1 + 1 \equiv 0 mod 2$. Dan tentu saja jika z merupakan bilangan genap akan berkontradiksi dengan pernyataan

  

“Bila (a, b dan c) merupakan tripel pythagoras primitive, bila salah satu dari a atau b merupakan bilangan genap, maka c merupakan bilangan ganjil.”

  

Beberapa contoh pythagoras primitif adalah sebagai berikut :

$latex 3.4.5$

$latex 15.112.113$

$latex 5.12.13$

$latex 16.63.65$

$latex 7.24.25$

$latex 17.144.145$

$latex 8.15.17$

$latex 19.180.181$

$latex 9.40.41$

$latex 20.21.29$

$latex 11.60.61$

$latex 20.99.101$

$latex 12.35.37$

$latex 21.220.221$

$latex 13.84.85$

$latex 23.264.265$

 

Baca juga mengenai Pythagoras yang lainnya, antara lain :

Pythagoras | Sejarah seorang yang bernama Pythagoras. Bisa digunakan sebagai bahan tugas sejarah ilmuwan atau sekedar info

Aritmatika Pythagoras | Filsafat Pythagoras bertumpu pada anggapan bahwa bilangan bulat adalah sebab utama dari sifat benda. Maka sekolah Pythagoras banyak meletakkan dasar teori dan rahasia bilangan. Beberapa hal tentang bilangan menurut Pythagoras.

Bukti Teorema Pythagoras | Sudah jelas postingan ini adalah bukti teorema Pythagoras

Soal-soal geometri Pythagoras SMP | Ini buat yang masih SMP yang cari soal-soal mengenai materi rumus pythagoras

Tripel Pythagoras Primitif dari Pola Pecahan | Penasaran.. Langsung cek aja..

Jumlah Pecahan yang Merupakan Tripel Pythagoras | Jumlah pecahan??? Cek aja postingannya

Bukti Teorema Pythagoras dengan Animasi GIF | Bukti dengan animasi GIF, gambar yang bergerak. :)

 

Tulisan Terbaru :
[archives limit=7]

Share this post