Ciri Bilangan habis dibagi 3

 

Ciri bilangan habis dibagi 3 adalah jumlah digit-digitnya habis dibagi 3. :roll:

Contoh : Apakah 213 habis dibagi 3? Akan kita jumlahkan digit-digit pada bilangan 213. Didapatkan, $latex 2+1+3=6$. Karena 6 (hasil dari penjumlahan digit-digitnya) habis dibagi 3, maka bilangan itu (213) habis dibagi 3.

 

Bukti :

Untuk sebarang bilangan misalnya $latex (a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)$ sebanyak n digit. Bentuk tersebut dapat kita tuliskan menjadi bentuk

$latex (a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-1} \times 10 + a_n $

  

Sekarang perhatikan berikut ini

$latex 10=9+1 $

$latex 100=99+1 $

$latex 1000=999+1 $

$latex 10000=9999+1$

$latex \vdots$

$latex 10^n=(99 \dots 999)+1,$ pada bilangan $latex (99 \dots 999)$ sebanyak n angka 9

 

Kemudian perhatikan ini

$latex 9 = 3(3)$

$latex 99 = 3(33)$

$latex 999 = 3(333)$

$latex \vdots $

$latex 99 \dots 999=3(33 \dots 333),$ perhatikan bahwa $latex (99 \dots999)$ dan $latex (33 \dots 333) $ jumlah digitnya sebanyak n

 

Dari situ kita dapatkan :

$latex 10^n= 3(33 \dots 333)+1, \qquad (33 \dots 333)$ jumlah digitnya sebanyak n

 

Di sini kita akan menuliskan $latex (33 \dots 333), \dots, (333), (33), (3)$ sebagai lambang $latex r_1, r_2, \dots , r_i$. Ingat bahwa $latex r_i$ adalah kelipatan 3

 

Sehingga kita bisa menuliskan seperti berikut :

$latex (a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-1} \times 10 + a_n $

$latex (a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1(3r_1+1)+a_2(3r_2+ 1)+ \dots + a_{n-1}(3r_{i-1}+1) + a_n$

$latex (a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)= 3(a_1r_1+a_2r_2+ \dots+ a_{n-1}r_{i-1}) + (a_1 + a_2 + \dots +a_{n-1}+ a_n)$

 

Karena $latex 3(a_1r_1+a_2r_2+ \dots+ a_{n-1}r_{i-1}) $ habis dibagi 3. Maka agar $latex (a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)$ habis dibagi 3. Harusnya $latex (a_1 + a_2 + \dots +a_{n-1}+ a_n)$ habis dibagi 3. Dimana $latex (a_1 + a_2 + \dots +a_{n-1}+ a_n)$ adalah jumlah angka-angkanya (jumlah digit-digitnya). Sehingga syarat bilangan habis dibagi 3 adalah jumlah digit-digitnya harus habis dibagi 3.

 

Ciri bilangan habis dibagi 3 ini penting untuk dihafal, akan sering digunakan untuk memfaktorkan bilangan-bilangan yang sangat besar. Misalnya kita ingin memfaktorkan bilangan 54321. Tentu, kita akan membaginya dengan 2 terlebih dahulu, karena angka terakhirnya adalah 1, maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 3.

 

Lalu, bagaimana dengan dibagi 3. Jika kita tidak tahu cirri bilangan habis dibagi 3, kemungkinan yang kan kita lakukan adalah menghitungnya. Tetapi, ini akan menjadi buang-buang waktu jika ternyata bilangan tersebut tidak habis dibagi 3.

Dengan menggunakan cirri-ciri atau syarat bilangan habis dibagi 3, maka kita dengan mudah mencari faktor-faktornya.

Semoga bermanfaat.

 

Tulisan Terbaru :
[archives limit=7]

 

Share this post