Keberadaan Fungsi Balikan

  

Teorema : Jika f monoton murni pada daerah asalnya, maka f memiliki balikan.

  

Fungsi monoton

Misalkan $latex f(x)$ terdefinisi pada suatu himpunan R. Untuk semua $latex x_1,x_2 \in R,$ fungsi $latex f(x)$ dikatakan:

  

monoton naik, jika $latex x_1<x_2$  maka $latex f(x_1)<f(x_2)$

monoton turun, jika untuk $latex x_1<x_2$  maka $latex f(x_1)>f(x_2)$

monoton tak naik, jika untuk $latex x_1<x_2$  maka $latex f(x_1) \ge f(x_2)$

monoton tak turun, jika untuk $latex x_1<x_2$  maka $latex f(x_1) \le f(x_2)$

monoton datar, jika untuk $latex x_1 \ne x_2$  maka $latex f(x_1)=f(x_2)$

  

Beberapa sumber mengatakan monoton naik yang dimaksud di atas adalah monoton naik sejati, dan mengatakan monoton tak turun yang dimaksud diatas dengan istilah monoton naik.

  

Yang dimaksud monoton murni atau monoton tegas adalah fungsi monoton naik atau fungsi monoton turun.

  

monoton naik, jika $latex x_1<x_2$  maka $latex f(x_1)<f(x_2)$

monoton turun, jika untuk $latex x_1<x_2$  maka $latex f(x_1)>f(x_2)$

  

Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi monoton murni memiliki invers.

  

Perhatikan pengertian fungsi naik. untuk $latex x_1<x_2$  maka berlaku $latex f(x_1)<f(x_2)$ untuk setiap $latex x_1,x_2$  pada daerah asalnya.

Pernyataan tersebut ekuivalen dengan pernyataan jika $latex x_1 \ne x_2$  maka berlaku $latex f(x_1 ) \ne f(x_2)$ untuk setiap $latex x_1,x_2$  pada daerah asalnya.

Dengan kata lain pernyataan tersebut adalah pengertian dari fungsi satu-satu.

   

Bukti teorema

Jika f  monoton murni pada daerah asalnya, maka f  memiliki balikan

Kita ambil $latex f:A \to B$

Jika f monoton murni maka f satu-satu dan onto

Kita akan membuktikan salah satu dari fungsi monoton murni yaitu fungsi monoton naik.

  

Bukti untuk f satu-satu.

Diketahui f monoton naik $latex \iff x_1<x_2 \to f(x_1)<f(x_2)$

Dengan kata lain :  $latex x_1 \ne x_2 \to f(x_1 ) \ne f(x_2)$

Terbukti f satu-satu.

   

Bukti untuk onto

Onto artinya $latex f(A)=B,$ yang ekuivalen dengan $latex f(A) \subseteq B$ dan $latex B \subseteq f(A)$

Untuk $latex f(A) \subseteq B$ sudah sangat jelas.

Sekarang akan dibuktikan untuk $latex B \subseteq f(A)$

Andaikan

$latex \exists b \in B$ dan $latex b \notin f(A)$

Maka $latex \exists x_1,x_2 \in A, \ni f(x_1)<b<f(x_2)$

Untuk $latex \lim \limits_{x \to x_1}x=c= \lim \limits_{x \to x_2}x, \qquad x_1 \ne c \ne x_2$

Maka $latex \lim \limits_{x \to x_1}f(x)= \lim \limits_{x \to x_2}f(x)=f(c)$

Menurut teorema apit $latex f(c)<b<f(c)$  maka haruslah $latex f(c)=b$

Jadi $latex c \in A \ni f(c)=b$

$latex b \in f(A)$

Kontradiksi bahwa $latex b \notin f(A)$

Jadi, f adalah Onto.

  

Contoh soal

Perlihatkan bahwa f memiliki balikan. Untuk $latex f(x)=2x^7-x^5+12x.$

  

Jawab :

Dengan menggunakan teorema turunan pertama untuk kemonotonan fungsi. Kita dapatkan turunan pertamanya yaitu

$latex f'(x)=14x^6-5x^4+12$

Dimana nilai $latex f'(x)$  selalu lebih besar nol untuk setiap x.

$latex f'(x)=14x^6-5x^4+12>0$  untuk semua x

Jadi  f naik pada seluruh garis real.

sehingga f  memiliki balikan di sana.

  

Kita tidak selalu dapat memberikan rumus sederhana untuk  $latex f^{-1}$

  

Tulisan Terbaru :
[archives limit=7]

  

Share this post