Kuadrat bilangan prima jika dibagi 24 akan bersisa 1

 

Kecuali bilangan prima 2 dan 3. Karena kuadrat dari 2 adalah 4. Dan kuadrat dari 3 adalah 9. Mereka tidak memberikan sisa 1 jika dibagi 24. Lalu, bagaimana bukti dari pernyataan “Kuadrat bilangan prima (kecuali 2 dan 3) jika dibagi 24 akan bersisa 1”

Bukti :

Ingat bahwa bilangan kuadrat yang lebih besar dari 4 bisa ditulis ke dalam bentuk $latex 6n \pm 1$ dengan n adalah bilangan asli. Dengan demikian ketika kita kuadratkan akan menghasilkan

$latex 6n \pm 1$

$latex =(6n \pm 1)^2$

$latex 36n^2 \pm 12n + 1$

Bentuk terakhir akan bersisa 1 jika dibagi 12. Lalu, bagaimana kita menunjukkan bahwa bentuk terakhir akan memberikan sisa 1 jika dibagi 24?

Bentuk terakhir bisa kita tuliskan

$latex 36n^2 \pm 12n+1$

$latex 12n(3n \pm 1)+1$

$latex 12 \times n(3n \pm 1)+1$

Bentuk $latex n(3n \pm 1)$ akan selalu menghasilkan bilangan genap untuk sebarang n. Maka $latex n(3n \pm 1)$ merupakan kelipatan 2.

Buktinya, untuk n ganjil, maka $latex 3n+1$ adalah genap. Ganjil kali genap sama dengan genap.

Untuk n genap, maka $latex 3n+1$ merupakan bilangan ganjil. Genap kali ganjil sama dengan genap.

Jadi, bentuk $latex n(3n \pm 1)$ bisa kita tuliskan menjadi $latex 2k$ karena merupakan bilangan genap, atau merupakan bilangan kelipatan 2.

Sehingga bentuk yang kita dapatkan tadi bisa kita tuliskan menjadi

$latex 12 \times n(3n \pm 1)+1$

$latex 12 \times 2k+1$

$latex 24k+1$

Bentuk paling akhir ini sangat jelas menunjukkan bahwa bilangan tersebut akan menghasilkan sisa 1 jika dibagi dengan 24.

Sehingga. Bukti pun selesai.

Akibat-akibatnya yaitu :

Untuk bilangan prima bukan 2 dan bukan 3, maka

Kuadrat bilangan prima jika dibagi 24 sisanya adalah 1

Kuadrat bilangan prima jika dibagi 12 sisanya adalah 1

Kuadrat bilangan prima jika dibagi 6 sisanya adalah 1

Intinya, bilangan prima yang dikuadratkan akan bersisa 1 jika dibagi dengan faktor positif dari 12.

Semoga bermanfaat.

Share this post